حاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (2x2)
أدخل العناصر الأربعة لمصفوفة 2x2 [[a, b], [c, d]] لحساب قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية.
آخر تحديث: September 5, 2026
الأسئلة الشائعة
كيف أجد القيم الذاتية لمصفوفة 2x2؟
حل det(A − λI) = 0، والذي بالنسبة لمصفوفة 2x2 [[a,b],[c,d]] يُبسَّط إلى λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0 - معادلة تربيعية في λ، باستخدام أثر المصفوفة (a+d) والمحدد (ad−bc). تطبق هذه الحاسبة تلك الصيغة مباشرة.
كيف أجد المتجه الذاتي بمجرد حصولي على قيمة ذاتية؟
حل (A − λI)v = 0 لإيجاد المتجه v - بالنسبة لمصفوفة 2x2 يُختزل هذا إلى معادلة مستقلة واحدة، لأن النظام شاذ بحكم بنائه. تحل هذه الحاسبة ذلك مباشرة من العنصر b أو c والقيمة الذاتية.
ماذا يعني إذا كانت القيم الذاتية مركبة؟
القيم الذاتية المركبة تعني أن المصفوفة ليس لها متجهات ذاتية حقيقية - هندسيًا، يحدث هذا للمصفوفات التي تدوّر المتجهات (مثل مصفوفة الدوران) بدلاً من مجرد تمديدها على طول اتجاهات ثابتة، لأن الدوران ليس له اتجاه يبقى دون تغيير (باستثناء دوران بمقدار 180°).
ماذا تمثل القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في العالم الحقيقي؟
تصف اتجاهات لا يدوّرها تحويل المصفوفة، بل يمددها أو يقلّصها فقط - المتجه الذاتي هو ذلك الاتجاه الثابت، والقيمة الذاتية هي عامل التمديد. يظهر هذا في تطبيقات مثل تحليل الاهتزازات، وتحليل المكونات الرئيسية، وخوارزمية PageRank من Google.
ما هي القيم الذاتية للمصفوفة [[2,1],[1,2]]؟
3 و1 - الأثر = 2+2 = 4، المحدد = (2×2)-(1×1) = 3، إذن λ² − 4λ + 3 = 0 تتحلل إلى (λ−3)(λ−1) = 0، مما يعطي λ = 3 وλ = 1.
هل يمكن أن يكون لمصفوفة 2x2 قيمة ذاتية واحدة فقط؟
نعم - يحدث هذا عندما يكون مميّز المعادلة المميزة صفرًا (قيمة ذاتية 'مكررة' أو 'شاذة')، وهو ما يحدث لمصفوفات مثل [[2,1],[0,2]]، حيث يتطابق كلا جذري المعادلة التربيعية عند نفس القيمة.