Eigenwert-und-Eigenvektor-Rechner (2x2)
Geben Sie die vier Einträge einer 2x2-Matrix [[a, b], [c, d]] ein, um ihre Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen.
Zuletzt aktualisiert: September 5, 2026
Häufig gestellte Fragen
Wie finde ich die Eigenwerte einer 2x2-Matrix?
Lösen Sie det(A − λI) = 0, was sich für eine 2x2-Matrix [[a,b],[c,d]] zu λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0 vereinfacht - eine quadratische Gleichung in λ, unter Verwendung der Spur der Matrix (a+d) und der Determinante (ad−bc). Dieser Rechner wendet diese Formel direkt an.
Wie finde ich den Eigenvektor, sobald ich einen Eigenwert habe?
Lösen Sie (A − λI)v = 0 für den Vektor v - für eine 2x2-Matrix reduziert sich dies auf eine unabhängige Gleichung, da das System durch Konstruktion singulär ist. Dieser Rechner löst dies direkt aus dem b- oder c-Eintrag und dem Eigenwert.
Was bedeutet es, wenn die Eigenwerte komplex sind?
Komplexe Eigenwerte bedeuten, dass die Matrix keine reellen Eigenvektoren hat - geometrisch geschieht dies bei Matrizen, die Vektoren drehen (wie eine Rotationsmatrix), anstatt sie nur entlang fester Richtungen zu strecken, da eine Rotation keine Richtung hat, die unverändert bleibt (außer einer 180°-Drehung).
Was stellen Eigenwerte und Eigenvektoren in der realen Welt dar?
Sie beschreiben Richtungen, die eine Matrixtransformation nicht dreht, sondern nur streckt oder staucht - der Eigenvektor ist diese unveränderte Richtung, und der Eigenwert ist der Streckfaktor. Das kommt in Anwendungen wie Schwingungsanalyse, Hauptkomponentenanalyse und Googles PageRank-Algorithmus vor.
Was sind die Eigenwerte der Matrix [[2,1],[1,2]]?
3 und 1 - Spur = 2+2 = 4, Determinante = (2×2)-(1×1) = 3, also faktorisiert sich λ² − 4λ + 3 = 0 zu (λ−3)(λ−1) = 0, was λ = 3 und λ = 1 ergibt.
Kann eine 2x2-Matrix nur einen einzigen Eigenwert haben?
Ja - das geschieht, wenn die Diskriminante der charakteristischen Gleichung null ist (ein „wiederholter“ oder „entarteter“ Eigenwert), was zum Beispiel bei Matrizen wie [[2,1],[0,2]] auftritt, bei denen beide Wurzeln der quadratischen Gleichung auf denselben Wert zusammenfallen.