Calculateur de Valeurs et Vecteurs Propres (2x2)
Entrez les quatre éléments d'une matrice 2x2 [[a, b], [c, d]] pour calculer ses valeurs propres et vecteurs propres.
Dernière mise à jour : September 5, 2026
Questions fréquentes
Comment trouver les valeurs propres d'une matrice 2x2 ?
Résolvez det(A − λI) = 0, qui pour une matrice 2x2 [[a,b],[c,d]] se simplifie en λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0 - une équation quadratique en λ, utilisant la trace de la matrice (a+d) et le déterminant (ad−bc). Cette calculatrice applique directement cette formule.
Comment trouver le vecteur propre une fois que j'ai une valeur propre ?
Résolvez (A − λI)v = 0 pour le vecteur v - pour une matrice 2x2, cela se réduit à une équation indépendante, puisque le système est singulier par construction. Cette calculatrice résout cela directement à partir de l'élément b ou c et de la valeur propre.
Que signifie si les valeurs propres sont complexes ?
Des valeurs propres complexes signifient que la matrice n'a pas de vecteurs propres réels - géométriquement, cela se produit pour des matrices qui font tourner des vecteurs (comme une matrice de rotation) plutôt que de simplement les étirer le long de directions fixes, puisqu'une rotation n'a aucune direction qui reste inchangée (sauf une rotation de 180°).
Que représentent les valeurs propres et vecteurs propres dans la réalité ?
Ils décrivent des directions qu'une transformation matricielle ne fait pas tourner, mais seulement étire ou rétrécit - le vecteur propre est cette direction inchangée, et la valeur propre est le facteur d'étirement. Cela apparaît dans des applications comme l'analyse vibratoire, l'analyse en composantes principales, et l'algorithme PageRank de Google.
Quelles sont les valeurs propres de la matrice [[2,1],[1,2]] ?
3 et 1 - trace = 2+2 = 4, déterminant = (2×2)-(1×1) = 3, donc λ² − 4λ + 3 = 0 se factorise en (λ−3)(λ−1) = 0, donnant λ = 3 et λ = 1.
Une matrice 2x2 peut-elle n'avoir qu'une seule valeur propre ?
Oui - cela se produit lorsque le discriminant de l'équation caractéristique est nul (une valeur propre « répétée » ou « dégénérée »), ce qui arrive pour des matrices comme [[2,1],[0,2]], où les deux racines de l'équation quadratique coïncident sur la même valeur.