เครื่องคำนวณค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกน (2x2)
ป้อนสี่ค่าของเมทริกซ์ 2x2 [[a, b], [c, d]] เพื่อคำนวณค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกนของมัน
อัปเดตล่าสุด: September 5, 2026
คำถามที่พบบ่อย
ฉันจะหาค่าไอเกนของเมทริกซ์ 2x2 ได้อย่างไร?
แก้ det(A − λI) = 0 ซึ่งสำหรับเมทริกซ์ 2x2 [[a,b],[c,d]] จะลดรูปเป็น λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0 - สมการกำลังสองใน λ โดยใช้ trace ของเมทริกซ์ (a+d) และดีเทอร์มิแนนต์ (ad−bc) เครื่องคำนวณนี้ใช้สูตรนั้นโดยตรง
เมื่อมีค่าไอเกนแล้ว ฉันจะหาเวกเตอร์ไอเกนได้อย่างไร?
แก้ (A − λI)v = 0 สำหรับเวกเตอร์ v - สำหรับเมทริกซ์ 2x2 สิ่งนี้จะลดรูปเป็นสมการอิสระหนึ่งสมการ เนื่องจากระบบเป็นเอกฐานโดยโครงสร้าง เครื่องคำนวณนี้แก้สิ่งนั้นโดยตรงจากค่า b หรือ c และค่าไอเกน
ถ้าค่าไอเกนเป็นจำนวนเชิงซ้อนหมายความว่าอย่างไร?
ค่าไอเกนเชิงซ้อนหมายความว่าเมทริกซ์ไม่มีเวกเตอร์ไอเกนจริง - ในเชิงเรขาคณิต สิ่งนี้เกิดขึ้นกับเมทริกซ์ที่หมุนเวกเตอร์ (เช่น เมทริกซ์การหมุน) แทนที่จะยืดพวกมันตามทิศทางคงที่ เนื่องจากการหมุนไม่มีทิศทางใดที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (ยกเว้นการหมุน 180°)
ค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกนแทนสิ่งใดในโลกจริง?
มันอธิบายทิศทางที่การแปลงเมทริกซ์ไม่หมุน มีเพียงการยืดหรือหดเท่านั้น - เวกเตอร์ไอเกนคือทิศทางที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้น และค่าไอเกนคือตัวคูณการยืด สิ่งนี้ปรากฏในการใช้งานต่างๆ เช่น การวิเคราะห์การสั่นสะเทือน การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (PCA) และอัลกอริทึม PageRank ของ Google
ค่าไอเกนของเมทริกซ์ [[2,1],[1,2]] คือเท่าไหร่?
3 และ 1 - trace = 2+2 = 4, ดีเทอร์มิแนนต์ = (2×2)-(1×1) = 3 ดังนั้น λ² − 4λ + 3 = 0 แยกตัวประกอบเป็น (λ−3)(λ−1) = 0 ให้ λ = 3 และ λ = 1
เมทริกซ์ 2x2 สามารถมีค่าไอเกนเพียงค่าเดียวได้หรือไม่?
ได้ - สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อดิสคริมิแนนต์ของสมการคุณลักษณะเป็นศูนย์ (ค่าไอเกน 'ซ้ำ' หรือ 'เสื่อม') ซึ่งเกิดขึ้นกับเมทริกซ์อย่าง [[2,1],[0,2]] ที่รากทั้งสองของสมการกำลังสองตรงกันที่ค่าเดียวกัน