حاسبة مشكلة جامع القسائم
أدخل عدد العناصر المميزة الموجودة (مثل أنواع القسائم أو البطاقات أو الجوائز) لإيجاد العدد المتوقع من السحوبات العشوائية لجمعها كلها.
آخر تحديث: September 5, 2026
الأسئلة الشائعة
ما هي مشكلة جامع القسائم؟
مشكلة احتمالية كلاسيكية: إذا كان هناك n عنصر مميز وكل سحب عشوائي له فرصة متساوية ليكون أي واحد منها (مع الإرجاع)، كم سحبة في المتوسط يستغرق الأمر لجمع واحد على الأقل من كل عنصر؟
ما هو العدد المتوقع من السحوبات لجمع كل العناصر الستة؟
حوالي 14.7 سحبة - باستخدام السحوبات المتوقعة = n × Hₙ = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 6 × 2.45 ≈ 14.7.
لماذا يصبح جمع العناصر القليلة الأخيرة أصعب بشكل غير متناسب؟
من المرجح أن تكون السحوبات المبكرة عناصر جديدة لأن معظم المجموعة لم تُجمع بعد، ولكن مع جمعك للمزيد، تكون لكل سحبة جديدة فرصة متناقصة لتكون واحدة من الأنواع القليلة المتبقية - يستغرق العنصر الأخير وحده n سحبة في المتوسط للعثور عليه.
هل يفترض هذا أن كل عنصر له فرصة متساوية ليتم سحبه؟
نعم - يفترض هذا الحساب توزيعًا موحدًا، حيث يكون لكل عنصر من العناصر n فرصة متساوية قدرها 1/n في كل سحبة. إذا كانت بعض العناصر أندر من غيرها، سيكون العدد الفعلي المتوقع للسحوبات أعلى من هذا التقدير.
كيف يتغير العدد المتوقع للسحوبات مع زيادة n؟
يتزايد تقريبًا وفق n × ln(n)، لذا فإن مضاعفة n يؤدي إلى أكثر من مضاعفة عدد السحوبات المتوقع - فبالنسبة لـ 100 عنصر، يكون العدد المتوقع للسحوبات حوالي 519، وهو أكبر بكثير من ضعف الـ 14.7 سحبة المطلوبة لـ 6 عناصر.
ما هو الحد الأدنى الممكن لعدد السحوبات لجمع كل العناصر الـ n؟
n سحبة - وهذه هي الحالة المثالية نظريًا حيث تكون كل سحبة على حدة عنصرًا جديدًا لم يُجمع من قبل. القيمة المتوقعة المحسوبة هنا تكون دائمًا أعلى من هذا الحد الأدنى، لأن تكرار عناصر مُجمعة مسبقًا أمر محتمل الحدوث.
هل هذه هي الرياضيات نفسها المستخدمة لحساب احتمالات جمع بطاقات التداول أو صناديق الغنائم؟
نعم - مسألة جامع القسائم هي النموذج القياسي لحساب عدد السحوبات العشوائية اللازمة لإكمال مجموعة كاملة، سواء كانت جوائز في علب الحبوب، أو بطاقات تداول، أو غنائم داخل الألعاب باحتمالات إسقاط متساوية.