เครื่องคำนวณปัญหานักสะสมคูปอง
ป้อนจำนวนสิ่งของที่แตกต่างกันที่มีอยู่ (เช่น ประเภทคูปอง การ์ด หรือรางวัล) เพื่อหาจำนวนครั้งที่คาดหวังในการสุ่มจับเพื่อเก็บให้ครบทั้งหมด
อัปเดตล่าสุด: September 5, 2026
คำถามที่พบบ่อย
ปัญหานักสะสมคูปองคืออะไร?
ปัญหาความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก: ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น และแต่ละครั้งที่สุ่มจับมีโอกาสเท่ากันที่จะเป็นสิ่งของชิ้นใดชิ้นหนึ่ง (แบบใส่คืน) โดยเฉลี่ยแล้วต้องจับกี่ครั้งจึงจะเก็บสิ่งของแต่ละชิ้นได้อย่างน้อยหนึ่งชิ้น?
จำนวนครั้งที่คาดหวังในการเก็บสิ่งของทั้ง 6 ชิ้นให้ครบคือเท่าไหร่?
ประมาณ 14.7 ครั้ง - โดยใช้จำนวนครั้งที่คาดหวัง = n × Hₙ = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 6 × 2.45 ≈ 14.7
ทำไมการเก็บสิ่งของไม่กี่ชิ้นสุดท้ายจึงยากขึ้นอย่างไม่สมส่วน?
การจับในช่วงแรกมีแนวโน้มที่จะเป็นสิ่งของใหม่เนื่องจากส่วนใหญ่ของชุดยังไม่ได้ถูกเก็บ แต่เมื่อคุณเก็บมากขึ้น การจับแต่ละครั้งใหม่จะมีโอกาสลดลงที่จะเป็นหนึ่งในไม่กี่ประเภทที่เหลืออยู่ - สิ่งของชิ้นสุดท้ายเพียงชิ้นเดียวใช้เวลาโดยเฉลี่ย n ครั้งในการค้นหา
สิ่งนี้สมมติว่าสิ่งของแต่ละชิ้นมีโอกาสถูกจับเท่ากันหรือไม่?
ใช่ - การคำนวณนี้สมมติการกระจายแบบสม่ำเสมอ ซึ่งแต่ละชิ้นจากทั้งหมด n ชิ้นมีโอกาสเท่ากันที่ 1/n ในทุกการจับ ถ้าสิ่งของบางชิ้นหายากกว่าชิ้นอื่น จำนวนครั้งที่คาดหวังจริงจะสูงกว่าค่าประมาณนี้
จำนวนครั้งที่คาดหวังเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อ n มีค่ามากขึ้น?
มันเพิ่มขึ้นในอัตราประมาณ n × ln(n) ดังนั้นการเพิ่ม n เป็นสองเท่าจะทำให้จำนวนครั้งที่คาดหวังเพิ่มขึ้นมากกว่าสองเท่า สำหรับสิ่งของ 100 ชิ้น จำนวนครั้งที่คาดหวังอยู่ที่ประมาณ 519 ครั้ง ซึ่งมากกว่าสองเท่าของประมาณ 14.7 ครั้งที่ต้องใช้สำหรับสิ่งของ 6 ชิ้นมาก
จำนวนครั้งขั้นต่ำที่เป็นไปได้ในการเก็บสิ่งของทั้ง n ชิ้นให้ครบคือเท่าไหร่?
n ครั้ง - นั่นคือกรณีที่ดีที่สุดในทางทฤษฎีที่ทุกๆ ครั้งที่จับบังเอิญเป็นสิ่งของใหม่ที่ยังไม่เคยเก็บมาก่อน ค่าคาดหวังที่คำนวณที่นี่จะสูงกว่าค่าต่ำสุดนี้เสมอ เนื่องจากมีโอกาสสูงที่จะจับซ้ำสิ่งของที่เก็บไปแล้ว
นี่คือคณิตศาสตร์เดียวกับที่ใช้คำนวณโอกาสสะสมการ์ดหรือกล่องสุ่มหรือไม่?
ใช่ - ปัญหานักสะสมคูปองเป็นแบบจำลองมาตรฐานสำหรับการหาจำนวนครั้งที่ต้องสุ่มจับเพื่อให้ได้ชุดสะสมครบ ไม่ว่าจะเป็นของรางวัลในกล่องซีเรียล การ์ดสะสม หรือไอเทมสุ่มในเกมที่มีอัตราดรอปเท่ากัน