优惠券收集者问题计算器
输入存在多少种不同的物品（如优惠券类型、卡片或奖品），求出集齐所有物品所需的随机抽取期望次数。
最后更新： September 5, 2026
常见问题
什么是优惠券收集者问题？
一个经典的概率问题：如果存在n种不同的物品，每次随机抽取抽到其中任何一种的概率相同（有放回抽样），平均需要抽取多少次才能收集到每种物品至少一个？
收集齐6种物品的期望抽取次数是多少？
大约14.7次——使用期望抽取次数 = n × Hₙ = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 6 × 2.45 ≈ 14.7。
为什么收集最后几个物品会变得异常困难？
早期的抽取很可能抽到新物品，因为大部分种类还没被收集到，但随着收集的物品越来越多，每次新抽取抽到剩下少数几种物品之一的概率就会不断缩小——仅仅是最后一种物品，平均就需要n次抽取才能找到。
这是否假设每种物品被抽到的概率相同？
是的——这个计算假设均匀分布，即n种物品中的每一种在每次抽取中都有相等的1/n概率。如果某些物品比其他物品更稀有，实际的期望抽取次数将高于这个估计值。
随着n增大，期望抽取次数如何变化？
它大致按n × ln(n)增长，所以n加倍会使期望抽取次数增加超过一倍——对于100件物品，期望抽取次数约为519次，远超收集6件物品所需约14.7次抽取的两倍。
收集齐n件物品所需的最少抽取次数是多少？
n次抽取——这是理论上的最佳情况，即每一次抽取都恰好抽到一件之前未收集过的新物品。这里计算出的期望值总是高于这个最小值，因为很可能会抽到已经收集过的物品。
这和计算集换式卡牌或盲盒收集概率所用的数学方法一样吗？
是的——优惠券收集者问题是计算完成一整套所需随机抽取次数的标准模型，无论是麦片盒赠品、集换式卡牌，还是掉落概率相同的游戏内战利品。